Tiêu điểm của elip là gì? Công thức tìm tọa độ, tiêu cự và bài tập dễ hiểu cho học sinh

Tiêu điểm của elip là một trong những yếu tố quan trọng khi học phương trình elip trong chương trình Toán THPT. Khi đề bài yêu cầu tìm F1, F2, tiêu cự hoặc xác định các yếu tố của elip, học sinh cần biết cách tìm a, b rồi tính c theo đúng công thức.

Phần kiến thức này không quá khó nếu hiểu rõ ba đại lượng a, b và c. Điểm dễ nhầm nhất là phân biệt tiêu điểm, tiêu cự và khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm. Bài viết dưới đây, FPT Shop sẽ trình bày từng khái niệm, công thức theo cách đơn giản để bạn dễ học, dễ nhớ và thuận tiện khi copy công thức để ôn tập.

Đặc điểm của hình elip

Hình elip là một đường cong kín có dạng gần giống hình bầu dục, xuất hiện phổ biến trong hình học và nhiều bài toán thực tế. Mỗi điểm trên elip có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm luôn không đổi. Nhờ đặc điểm này, elip được ứng dụng trong nhiều dạng bài như xác định phương trình đường conic, tìm tiêu điểm, tiêu cự, trục lớn, trục nhỏ và tính diện tích.

Kiến thức về elip còn giúp học sinh hiểu rõ hơn mối quan hệ giữa hình học và tọa độ trên mặt phẳng Oxy. Bên cạnh chương trình Toán THPT, nguyên lý của elip còn xuất hiện trong thiên văn học khi mô tả quỹ đạo chuyển động của các hành tinh và trong nhiều bài toán kỹ thuật, kiến trúc, thiết kế.

Tiêu điểm của elip là gì?

Elip có hai điểm cố định được ký hiệu là F1 và F2. Hai điểm này được gọi là tiêu điểm của elip. Theo định nghĩa hình học, nếu M là một điểm bất kỳ nằm trên elip thì tổng khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm luôn bằng một giá trị không đổi.

Ta có: MF1 + MF2 = 2a

Trong đó:

• F1 và F2 là hai tiêu điểm.
• M là điểm bất kỳ trên elip.
• a là bán trục lớn.
• 2a là độ dài trục lớn.

Ví dụ: Giả sử một elip có bán trục lớn: a = 5

• Khi đó, mọi điểm M nằm trên elip đều thỏa mãn: MF1 + MF2 = 10.
• Dù M nằm ở vị trí nào trên đường elip, tổng hai khoảng cách MF1 và MF2 vẫn bằng 10.

Đây chính là tính chất cơ bản giúp hình thành khái niệm tiêu điểm của elip.

Tiêu cự của elip là gì?

Tiêu điểm và tiêu cự là hai khái niệm rất dễ bị nhầm.

• Tiêu điểm: Hai điểm F1 và F2.
• Tiêu cự: Khoảng cách giữa F1 và F2.

Công thức tiêu cự là: F1F2 = 2c

Trong đó c là khoảng cách từ tâm O của elip đến mỗi tiêu điểm. Ta có: OF1 = OF2 = c

Ví dụ

• Giả sử: c = 4
• Khi đó: OF1 = OF2 = 4
• Tiêu cự là: F1F2 = 2 × 4 = 8

Kết luận: Khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là 4. Tiêu cự của elip bằng 8.

Mẹo ghi nhớ rất đơn giản: c là nửa tiêu cự, còn 2c là tiêu cự.

Công thức tìm tiêu điểm của elip cần nhớ

Xét phương trình elip chính tắc dạng: x²/a² + y²/b² = 1

• Trong đó: a > b > 0
• Ta có công thức: c² = a² - b²
• Suy ra: c = căn bậc hai của (a² - b²)

Sau khi tìm được c, tọa độ hai tiêu điểm của elip là:

• F1(-c; 0)
• F2(c; 0)

Tiêu cự là: F1F2 = 2c

Hướng dẫn tìm tiêu điểm của elip từ phương trình chính tắc

Quy trình 4 bước nhanh và đơn giản

Để hạn chế nhầm lẫn, bạn có thể áp dụng quy trình 4 bước sau để tìm tiêu điểm của elip:

Bước 1: Xác định a² và b² từ phương trình.

Bước 2: Tính c² theo công thức: c² = a² - b²

Bước 3: Tính c.

Bước 4: Viết tọa độ: F1(-c; 0), F2(c; 0)

Vì sao công thức là c² = a² - b²?

• Ba đại lượng a, b và c có mối liên hệ: a² = b² + c²
• Từ đó biến đổi: c² = a² - b²

Có thể ghi nhớ theo thứ tự: bán trục lớn² = bán trục nhỏ² + khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm²

Ví dụ

Cho: a = 10, b = 8

• Ta có: c² = 10² - 8² -> c² = 100 – 64 -> c² = 36 c = 6
• Hai tiêu điểm: F1(-6; 0), F2(6; 0)
• Tiêu cự: F1F2 = 12

Ví dụ này cho thấy nếu đề đã cho a và b, bạn không cần lập lại toàn bộ phương trình elip. Chỉ cần tính c rồi viết F1, F2.

Trường hợp trục lớn của elip nằm dọc

Trong nhiều bài học cơ bản, phương trình chính tắc thường được trình bày theo dạng trục lớn nằm trên Ox. Tuy nhiên, học sinh cũng có thể gặp dạng:

x²/b² + y²/a² = 1, trong đó a > b > 0. Lúc này trục lớn nằm trên Oy.

• Công thức tính c vẫn là: c² = a² - b²
• Nhưng hai tiêu điểm nằm trên trục Oy: F1(0; -c), F2(0; c)

Ví dụ

Cho elip: x²/9 + y²/25 = 1. Mẫu số lớn hơn nằm dưới y².

• Ta có: a² = 25, b² = 9 -> c² = 25 - 9 = 16 -> c = 4
• Do trục lớn nằm trên Oy nên: F1(0; -4), F2(0; 4)
• Tiêu cự: F1F2 = 8

Mẹo tìm tiêu điểm của elip nhanh trong bài trắc nghiệm

Khi đề cho phương trình dạng chính tắc, bạn có thể làm theo trình tự ngắn:

• Tìm mẫu số lớn hơn.
• Gọi mẫu số lớn là a².
• Mẫu số còn lại là b².
• Tính c² = a² - b².
• Tìm c.
• Xác định trục lớn nằm ngang hay dọc.
• Viết F1 và F2.

Ví dụ: x²/100 + y²/36 = 1

a² = 100, b² = 36 -> c² = 100 - 36 = 64 -> c = 8. Mẫu số lớn nằm dưới x² nên tiêu điểm nằm trên Ox.

Đáp án: F1(-8; 0), F2(8; 0)

Khi đã quen quy trình này, nhiều câu trắc nghiệm có thể giải trong thời gian ngắn.

Tạm kết

Tiêu điểm của elip là hai điểm cố định F1 và F2 nằm trên trục lớn. Để tìm chính xác hai tiêu điểm, bạn cần xác định a và b, sau đó tính c theo công thức c² = a² − b². Từ giá trị c, hãy xác định hướng của trục lớn để viết tọa độ F1 và F2. Hy vọng những công thức và ví dụ trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về tiêu điểm của elip, đồng thời dễ dàng áp dụng khi giải các bài tập liên quan.

Một chiếc laptop tốt sẽ hỗ trợ bạn tra cứu tài liệu, làm bài tập, học trực tuyến, sử dụng phần mềm hình học và chuẩn bị bài thuyết trình thuận tiện hơn. Nếu đang tìm kiếm cho mình một thiết bị phục vụ việc học lâu dài, bạn có thể xem thêm các sản phẩm laptop học tập tại FPT Shop.

Xem thêm:

• Diện tích elip: Trọn bộ công thức kết hợp bài tập thực hành từ cơ bản đến nâng cao hữu ích
• Đơn vị đo diện tích trong toán học và đời sống cùng hướng dẫn cách quy đổi chi tiết