Tiệm cận đứng là gì? Công thức, cách tìm nhanh và ví dụ có lời giải dễ hiểu

Tiệm cận đứng là kiến thức thường xuất hiện trong các bài khảo sát hàm số, đọc bảng biến thiên và nhận dạng đồ thị ở chương trình Toán THPT. Dạng bài này nhìn qua khá đơn giản, nhưng học sinh dễ nhầm giữa nghiệm của mẫu số, điểm gián đoạn và đường tiệm cận.

Tiệm cận đứng là gì?

Cho hàm số y = f(x). Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi x tiến gần đến a từ bên trái hoặc bên phải, giá trị của hàm số tăng hoặc giảm không giới hạn.

Nói đơn giản hơn:

• Khi x càng tiến gần a, y càng tăng rất lớn.
• Hoặc khi x càng tiến gần a, y càng giảm rất nhỏ theo hướng âm vô cực.
• Khi đó, đường thẳng x = a có thể là tiệm cận đứng.

Bạn chỉ cần tìm được một phía mà giá trị hàm số tiến đến dương vô cực hoặc âm vô cực là đủ để kết luận.

Ví dụ:

Cho hàm số y = 1/(x - 2).

Mẫu số bằng 0 khi: x - 2 = 0 -> x = 2

Bây giờ xét giá trị của hàm số khi x tiến rất gần 2.

• Nếu x = 1,9 thì: y = 1/(1,9 - 2) = -10
• Nếu x = 1,99 thì: y = 1/(1,99 - 2) = -100
• Nếu x = 1,999 thì: y = 1/(1,999 - 2) = -1000

Có thể thấy khi x tiến gần 2 từ bên trái, giá trị y giảm rất mạnh theo hướng âm vô cực. Ngược lại, nếu x = 2,001 thì y = 1000. Do đó, x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Công thức tìm tiệm cận đứng cần nhớ

Công thức

Trong chương trình lớp 12, dạng phổ biến là hàm phân thức: y = P(x)/Q(x)

Trong đó:

• P(x) là tử số.
• Q(x) là mẫu số.

Để tìm tiệm cận đứng, trước tiên giải: Q(x) = 0. Giả sử tìm được: x = a. Sau đó kiểm tra điều gì xảy ra khi x tiến gần a.

Nếu giá trị hàm số tiến đến dương vô cực hoặc âm vô cực thì: x = a là tiệm cận đứng.

Ví dụ áp dụng công thức

Cho hàm số: y = (x + 1)/(x - 3)

Bước 1: Cho mẫu số bằng 0

• x - 3 = 0
• -> x = 3

Bước 2: Kiểm tra tử số tại x = 3

• x + 1 = 3 + 1 = 4

Tử số bằng 4, khác 0. Trong khi đó, mẫu số tiến dần về 0 khi x tiến gần 3. Vì vậy giá trị hàm số sẽ tăng hoặc giảm rất lớn. Kết luận: x = 3 là tiệm cận đứng. Đây là dạng cơ bản và thường xuất hiện trong câu hỏi trắc nghiệm.

Hướng dẫn cách tìm tiệm cận đứng của hàm phân thức

Học sinh có thể chia bài toán thành hai trường hợp chính.

Trường hợp 1: Mẫu bằng 0 nhưng tử khác 0

Cho hàm số: y = P(x)/Q(x)

Nếu tại x = a:

• Q(a) = 0.
• P(a) khác 0.

Trong các bài phân thức hữu tỉ cơ bản, x = a thường là ứng viên rất rõ của đường tiệm cận đứng.

Trường hợp 2: Tử và mẫu cùng bằng 0

Cho hàm số: y = (x² - 4)/(x - 2)

• Mẫu số bằng 0 khi: x = 2
• Thay x = 2 vào tử: 2² - 4 = 0

Như vậy, tử và mẫu đều bằng 0. Lúc này không được kết luận ngay x = 2 là tiệm cận đứng.

• Ta phân tích: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
• Do đó: y = [(x - 2)(x + 2)]/(x - 2)
• Rút gọn được y = x + 2, nhưng x khác 2
• Khi x tiến gần 2, giá trị y tiến gần: 2 + 2 = 4

Giá trị này là một số hữu hạn, không phải vô cực. Kết luận: x = 2 không phải tiệm cận đứng. Đây chỉ là một điểm gián đoạn của hàm số.

Quy trình tìm tiệm cận đứng nhanh và dễ nhớ

Khi gặp hàm số dạng phân thức, bạn có thể áp dụng 5 bước sau.

Bước 1: Xác định mẫu số.

Bước 2: Giải phương trình mẫu số bằng 0.

Bước 3: Kiểm tra tử số tại từng nghiệm vừa tìm.

Bước 4: Nếu tử cũng bằng 0, phân tích thành nhân tử và rút gọn.

Bước 5: Kiểm tra những nghiệm còn lại của mẫu. Nếu giá trị hàm tiến ra vô cực, đó là tiệm cận đứng.

Có thể ghi nhớ ngắn gọn: Tìm nghiệm mẫu → kiểm tra tử → rút gọn nếu cần → kết luận.

Hướng dẫn cách tìm tiệm cận đứng qua bảng biến thiên

Một số câu hỏi không cho công thức hàm số mà chỉ cung cấp bảng biến thiên. Trong trường hợp này, bạn hãy quan sát những vị trí chia miền của trục x.

Ví dụ 1:

Bảng biến thiên cho thấy:

• Khi x tiến đến 1 từ bên trái, y tăng lên dương vô cực.
• Khi x tiến đến 1 từ bên phải, y giảm xuống âm vô cực.

Khi đó có thể kết luận ngay: x = 1 là tiệm cận đứng.

Ví dụ 2:

Giả sử tại x = -2, bảng biến thiên thể hiện:

• Bên trái x = -2, y tiến lên +∞.
• Bên phải x = -2, y tiến xuống -∞.

Như vậy:

x = -2 là tiệm cận đứng. Mẹo làm nhanh là tìm những vị trí mà hàng x bị chia thành hai khoảng. Sau đó quan sát hàng y ở hai phía. Nếu y xuất hiện +∞ hoặc -∞ khi tiến sát điểm đó, hãy nghĩ đến đường tiệm cận đứng.

Hướng dẫn cách xác định tiệm cận đứng từ đồ thị

Khi đề bài cho hình đồ thị, bạn không cần thực hiện nhiều phép tính. Hãy tìm đường thẳng đứng mà các nhánh của đồ thị ngày càng tiến sát.

Ví dụ:

• Đồ thị có hai nhánh tiến gần đường: x = 3
• Một nhánh đi lên rất cao, nhánh còn lại đi xuống rất thấp khi tiến gần x = 3.
• Ta kết luận: x = 3 là tiệm cận đứng.

Cần nhớ rằng hai phía không bắt buộc phải cùng tiến ra vô cực. Chỉ cần một phía có giá trị hàm tăng hoặc giảm không giới hạn là đủ theo định nghĩa. Nếu muốn quan sát trực quan hơn, bạn có thể tham khảo các phần mềm vẽ đồ thị trên máy tính để nhập hàm số và kiểm tra hình dạng đồ thị.

Tạm kết

Tiệm cận đứng là kiến thức quan trọng trong phần khảo sát và nhận dạng đồ thị hàm số ở chương trình Toán THPT. Để tìm chính xác, bạn cần nhớ đường tiệm cận dạng này luôn có phương trình x = a. Nắm chắc quy trình tìm nghiệm mẫu → kiểm tra tử → rút gọn → kết luận sẽ giúp học sinh xử lý nhanh phần lớn câu hỏi lớp 12, đồng thời tránh những lỗi thường gặp khi làm bài trắc nghiệm.

Một chiếc laptop phù hợp có thể hỗ trợ tốt cho học sinh khi tra cứu tài liệu, luyện đề, học trực tuyến, thực hiện bài thuyết trình... Nếu bạn đang tìm cho mình một thiết bị phục vụ học tập mới thì có thể tham khảo danh mục laptop sinh viên - văn phòng tại FPT Shop nhé!

Xem thêm:

• Cẩm nang công thức đạo hàm đầy đủ nhất giúp học sinh ghi nhớ dễ dàng khi giải toán
• Đạo hàm là gì? Tất tần tật về khái niệm, công thức, quy tắc và ứng dụng của đạo hàm