Tổng hợp công thức tổ hợp – hoán vị - chỉnh hợp chi tiết và mối quan hệ của ba yếu tố này

Bạn đang lo lắng trước những bài toán tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp vì không thể phân biệt được chúng? Bạn cảm thấy rối rắm giữa các công thức và không biết áp dụng chúng như thế nào? Đừng lo lắng! Bài viết này của FPT Shop sẽ giúp bạn hiểu rõ và nắm vững công thức tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp một cách đơn giản, hiệu quả nhất. Cùng khám phá ngay!

Giới thiệu sơ lược về tổ hợp và chỉnh hợp

Tổ hợp là gì?

Tổ hợp là cách chọn ra một số phần tử từ một tập hợp lớn hơn và không quan tâm đến thứ tự sắp xếp các phần tử đã chọn.

Ví dụ minh họa:

Chọn 2 học sinh từ một lớp có 5 học sinh thì việc chọn học sinh A rồi đến học sinh B là như nhau so với việc chọn học sinh B rồi đến học sinh A. Chỉ cần chọn được 2 học sinh đó là đủ. Khác với hoán vị, tổ hợp không quan tâm đến thứ tự.

Chỉnh hợp là gì?

Chỉnh hợp là cách chọn ra một số phần tử từ một tập hợp lớn hơn và quan tâm đến thứ tự sắp xếp các phần tử đã chọn.

Ví dụ minh họa:

Chọn 2 học sinh từ một lớp có 5 học sinh để làm lớp trưởng và lớp phó. Việc chọn học sinh A làm lớp trưởng và học sinh B làm lớp phó là khác với việc chọn học sinh B làm lớp trưởng và học sinh A làm lớp phó. Thứ tự sắp xếp ở đây là quan trọng.

Khái niệm hoán vị và các dạng thường gặp

Hoán vị là gì?

Hoán vị là cách sắp xếp lại toàn bộ phần tử của một tập hợp theo một thứ tự khác nhau.

Ví dụ minh họa:

Có 3 cuốn sách A, B, C. Hoán vị của 3 cuốn sách này là các cách sắp xếp chúng trên giá sách, ví dụ: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Cụ thể, hoán vị là cách sắp xếp lại tất cả các phần tử, không phải chỉ chọn một số phần tử như chỉnh hợp hay tổ hợp.

Có những dạng hoán vị thường gặp nào?

Hoán vị dạng lặp

Hoán vị lặp là cách sắp xếp một tập hợp gồm n phần tử, trong đó mỗi phần tử có thể được chọn nhiều lần. Khác với hoán vị thông thường, mỗi phần tử trong hoán vị lặp có thể xuất hiện nhiều hơn một lần trong dãy sắp xếp.

Ví dụ minh họa:

Giả sử ta có 3 chữ cái: A, B, C và muốn sắp xếp chúng thành một dãy có độ dài 2. Trong hoán vị thông thường, ta chỉ có 6 cách sắp xếp (AB, AC, BA, BC, CA, CB). Tuy nhiên, với hoán vị lặp, ta có thể có các cách sắp xếp như AA, BB, CC ngoài những cách sắp xếp ở trên. Tổng cộng với hoán vị lặp, ta có 3 x 3 = 9 cách sắp xếp (vì mỗi vị trí trong dãy có 3 lựa chọn).

Công thức tính số hoán vị lặp:

Khi cho n đối tượng trong đó có ni đối tượng loại i giống hệt nhau (i =1,2,…,k ; n1+ n2,…+ nk= n).

Mỗi cách sắp xếp có thứ tự n đối tượng đã cho gọi là một hoán vị lặp của n.

Công thức tính: n!n1!n2!…nk!

Trong đó:

• n: Số phần tử trong tập hợp.
• k: Độ dài của dãy sắp xếp.

Hoán vị dạng vòng

Hoán vị vòng (hay hoán vị tròn) là cách sắp xếp n phần tử thành một vòng tròn. Khác với hoán vị thông thường, trong hoán vị vòng, hai cách sắp xếp được coi là giống nhau nếu chúng chỉ khác nhau bởi một phép xoay vòng.

Ví dụ minh họa:

Giả sử ta có 3 người A, B, C ngồi quanh một bàn tròn. Các cách sắp xếp sau đây được coi là giống nhau:

• ABC
• BCA
• CAB

Bởi vì chúng chỉ là sự xoay vòng của nhau. Nếu ta xem ABC là một cách sắp xếp, thì BCA và CAB đều là sự xoay vòng của ABC.

Công thức tính số hoán vị vòng của n phần tử là:

(n - 1)!

Trong đó:

• n: Số phần tử cần sắp xếp.
• ! : Là ký hiệu giai thừa (ví dụ: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1).

Ví dụ minh họa:

Với 3 người A, B, C, số hoán vị vòng là (3 - 1)! = 2! = 2. Hai cách sắp xếp khác nhau là ABC (và các cách xoay vòng của nó) và ACB (và các cách xoay vòng của nó).

Tổng hợp công thức tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp

Công thức tổ hợp

Công thức tính tổ hợp gồm chập “k” của số lượng “n” phần tử (1≤ k ≤ n) là:

Trong đó “kn” có đáp án là 0 khi k > n.

Ví dụ minh họa:

Ông B có chơi với tổng cộng 11 người. Nhưng ông B muốn gửi lời mời cho 05 người trong số họ đi ăn cùng. Trong số 11 người bạn đó thì có 02 người là không muốn đi gặp mặt. Vậy ông B sẽ có mấy cách để mời họ đi ăn?

Bài giải:

• Ông B chỉ có thể mời một trong hai người bạn và ông sẽ mời thêm khoảng 4 người bạn trong 9 người bạn kia. Như vậy ta có:

• Ông B không gửi lời mời cho hai người bạn kia mà chỉ gửi lời mời cho 5 người trong chín người bạn. Như vậy ta có:

Kết luận: Tổng cộng là ông B sẽ có 328 cách để mời.

Công thức hoán vị

Ngoài công thức tổ hợp, chúng ta cần nắm bắt thêm công thức hoán vị với điều kiện như sau:

Tập hợp bao gồm số lượng “n” phần tử (điều kiện n> 0) thì ta có công thức tính hoán vị của số lượng “n” phần tử như dưới đây:

Ví dụ minh họa:

Cho 1 tập hợp tên là A gồm 5 số là 3, 4, 5, 6, 7. Dựa trên tập hợp này thì các bạn có thể thiết lập được mấy số tự nhiên bao gồm 5 chữ số khác nhau?

Bài giải:

• Bạn có thể áp dụng công thức tính hoán vị là Pn=n!. Như vậy ta có P5 = 5! và đáp án là 120 số.

Công thức chỉnh hợp

Với số lượng chỉnh hợp chập “k” của 1 tập hợp bao gồm “n” phần tử (1≤ k ≤ n) sẽ được tính theo công thức:

Ví dụ minh họa:

Có mấy số bao gồm 04 chữ số hoàn toàn khác được thiết lập từ những chữ số là 1,2,3,4,5,6,7.

Bài giải:

• Chúng ta sẽ có từng số bao gồm bốn chữ số hoàn toàn khác được thiết lập từ việc lấy ra 04 chữ số của tập hợp A gồm các phần tử là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 rồi sắp xếp nó theo những thứ tự cụ thể. Từng số này sẽ được xem là 1 chỉnh hợp có chập 04 của 07 phần tử.
• Suy ra số lượng số tự nhiên được tạo ra từ tập hợp trên là 840 số.

Mối quan hệ giữa tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp

Quan hệ giữa chúng có thể được tóm tắt như sau:

Chỉnh hợp và tổ hợp

Một chỉnh hợp chập k của n bao gồm việc chọn k phần tử từ n phần tử và sắp xếp chúng. Tổ hợp chập k của n chỉ đơn thuần là việc chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. 

Vì vậy, số lượng chỉnh hợp luôn lớn hơn hoặc bằng số lượng tổ hợp. Cụ thể, A(n, k) = k! * C(n, k). Điều này có nghĩa là số chỉnh hợp bằng số tổ hợp nhân với số hoán vị của k phần tử đã chọn.

Hoán vị và chỉnh hợp

Hoán vị là một trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp, khi k = n. Cụ thể, hoán vị là số cách sắp xếp tất cả n phần tử. Do đó, P(n) = A(n, n) = n!.

Hoán vị và tổ hợp

Hoán vị liên quan đến việc sắp xếp tất cả các phần tử, trong khi tổ hợp chỉ liên quan đến việc chọn các phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Không có mối liên hệ trực tiếp giữa hoán vị và tổ hợp như giữa chỉnh hợp và tổ hợp.

Ví dụ minh họa:

Giả sử ta có 3 quả bóng: đỏ, xanh, vàng.

• Hoán vị: Số cách sắp xếp 3 quả bóng là 3! = 6 (đỏ-xanh-vàng, đỏ-vàng-xanh, xanh-đỏ-vàng, xanh-vàng-đỏ, vàng-đỏ-xanh, vàng-xanh-đỏ).
• Chỉnh hợp chập 2: Số cách chọn 2 quả bóng và sắp xếp chúng là A(3, 2) = 3!/(3-2)! = 6 (đỏ-xanh, đỏ-vàng, xanh-đỏ, xanh-vàng, vàng-đỏ, vàng-xanh).
• Tổ hợp chập 2: Số cách chọn 2 quả bóng mà không quan tâm đến thứ tự là C(3, 2) = 3!/(2!1!) = 3 (đỏ-xanh, đỏ-vàng, xanh-vàng).

Như vậy, mối quan hệ giữa chúng vô cùng rõ ràng: hoán vị là trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp và chỉnh hợp bao gồm cả việc chọn và sắp xếp. Trong khi đó, tổ hợp chỉ bao gồm việc chọn. Dựa trên công thức toán học đã thể hiện rõ ràng mối liên hệ này.

Tạm kết

Những chia sẻ trong bài viết trên đã giúp bạn đọc cập nhật công thức tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị. Đồng thời, bạn đọc có thể xem thêm hàng loạt ví dụ minh họa để hiểu về định nghĩa cũng như cách áp dụng công thức hiệu quả.

Để hoàn thành công việc hoặc học tập hằng ngày, chắc chắn bạn sẽ cần một chiếc laptop đầy đủ tính năng và gọn nhẹ, dễ dàng đem đi bất cứ đâu. Hãy đến FPT Shop để được lựa chọn nhiều dòng máy tính chính hãng, đáp ứng nhu cầu trên nhé!

Máy tính xách tay

Xem thêm:

• Điểm danh 7 app giải toán trên máy tính chuẩn xác nhất hiện nay mà các bạn cần biết
• Toán Math – Trang web hỗ trợ học toán trực tuyến thông minh dành cho học sinh và giáo viên THCS, THPT