Công thức tính mốt lớp 11: Cách xác định mốt của mẫu số liệu ghép nhóm đơn giản và dễ hiểu

Công thức tính mốt là phần kiến thức quan trọng trong Toán 11, đặc biệt khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm. Nhưng để xác định đúng mốt, bạn cần biết cách tìm nhóm chứa mốt và thay chính xác các giá trị vào công thức.

Hãy cùng FPT Shop tìm hiểu cách ghi nhớ công thức, cách tính và những ví dụ dễ hiểu để tránh nhầm lẫn khi làm bài.

Mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính mốt, cần nắm được khái niệm mẫu số liệu ghép nhóm. Đây là cách trình bày dữ liệu thành nhiều nhóm khác nhau dựa trên một khoảng giá trị nhất định. Mỗi nhóm đi kèm một tần số, cho biết có bao nhiêu giá trị thuộc nhóm đó.

Một bảng tần số ghép nhóm thường có dạng:

Trong đó, mỗi khoảng [u_i​;u_i+1​) là một nhóm dữ liệu. Ký hiệu ni biểu thị số lượng giá trị nằm trong nhóm tương ứng.

Tổng số phần tử của mẫu dữ liệu được gọi là cỡ mẫu và được tính bằng:

n=n_1​+n₂​+⋯+n_k​

Một điểm cần lưu ý là các nhóm trong bảng thường được xây dựng sao cho có cùng độ dài. Độ dài của nhóm [u_i​;u_i+1​) là:

u_i+1​−u_i​

Việc chia dữ liệu thành từng nhóm giúp bảng thống kê trở nên gọn hơn, đặc biệt khi số lượng dữ liệu ban đầu rất lớn. Tuy nhiên, do các giá trị cụ thể đã được gom lại thành từng khoảng nên những số đặc trưng như số trung bình hay mốt của mẫu ghép nhóm thường chỉ mang tính xấp xỉ.

Giá trị đại diện của nhóm

Trong một số bài toán, để tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, người ta sử dụng giá trị chính giữa của mỗi nhóm làm giá trị đại diện.

Với nhóm [u_i​;u_i+1​), giá trị đại diện được tính bằng:

Chẳng hạn, với nhóm [10;14), giá trị đại diện là:

Giá trị này được dùng thay cho các số liệu cụ thể trong nhóm khi thực hiện một số phép tính thống kê.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Bên cạnh mốt, số trung bình cũng là một đại lượng quan trọng khi phân tích mẫu số liệu ghép nhóm. Nếu các nhóm có giá trị đại diện lần lượt là c_1​, c₂,..., c_k với tần số tương ứng n_1​, n₂,..., n_k, số trung bình được tính theo:

Trong đó:

Cách tính này thực chất là lấy từng giá trị đại diện nhân với số lần xuất hiện của nhóm đó, sau đó cộng tất cả lại và chia cho tổng số dữ liệu.

Ví dụ, một cửa hàng thống kê số sản phẩm bán được mỗi ngày trong một khoảng thời gian. Nếu nhóm [20;30) có tần số 5 thì giá trị đại diện của nhóm là:

Khi tính số trung bình, giá trị 25 sẽ được nhân với tần số 5.

Số trung bình giúp cho chúng ta có cái nhìn tổng quát về mức độ tập trung của dữ liệu. Tuy nhiên, khi muốn biết khoảng giá trị nào xuất hiện nhiều nhất, cần sử dụng mốt.

Mốt trong mẫu số liệu ghép nhóm được hiểu là gì?

Mốt là một trong những đại lượng đặc trưng giúp nhận biết giá trị hoặc khu vực dữ liệu xuất hiện phổ biến nhất.

Đối với mẫu số liệu không ghép nhóm, mốt thường là giá trị có tần số xuất hiện lớn nhất. Chẳng hạn, với dãy số:

2; 3; 3; 4; 5; 3; 6

giá trị 3 xuất hiện nhiều nhất nên mốt của mẫu dữ liệu là 3.

Tuy nhiên, khi dữ liệu đã được chia thành các nhóm, chúng ta không còn biết chính xác từng giá trị bên trong mỗi khoảng. Vì vậy, cách xác định mốt sẽ khác.

Nhóm chứa mốt là gì?

Với mẫu số liệu ghép nhóm, nhóm chứa mốt chính là nhóm có tần số cao nhất.

Ví dụ, bảng thống kê có:

Nhóm [4;6) có tần số lớn nhất, với giá trị là 20. Vì vậy, nhóm [4;6) chính là nhóm chứa mốt.

Tuy nhiên, không nên lấy ngay giá trị chính giữa của nhóm này để kết luận đó là mốt. Đây là lỗi khá phổ biến khi làm bài. Với dữ liệu ghép nhóm, cần tiếp tục sử dụng công thức để ước lượng vị trí của mốt trong nhóm.

Công thức tính mốt cho mẫu số liệu ghép nhóm

Giả sử nhóm chứa mốt là:

[u_m;u_m+1​)

Trong đó n_m là tần số của nhóm chứa mốt, n_m-1 là tần số của nhóm liền trước và n_m+1 là tần số của nhóm liền sau.

Khi đó, công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Đây chính là công thức cần ghi nhớ khi giải các bài toán về mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

Giải thích ý nghĩa các thành phần có trong công thức

Nhìn vào công thức, nhiều bạn có thể cảm thấy khá nhiều ký hiệu. Tuy nhiên, nếu tách từng phần thì cách sử dụng lại tương đối đơn giản.

Trong đó:

• M_o là mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.
• [u_m;u_m+1) là nhóm chứa mốt.
• u_m là đầu mút bên trái của nhóm chứa mốt.
• u_m+1 là đầu mút bên phải của nhóm chứa mốt.
• n_m là tần số của nhóm chứa mốt.
• n_m-1 là tần số của nhóm đứng ngay trước nhóm chứa mốt.
• n_m+1 là tần số của nhóm đứng ngay sau nhóm chứa mốt.

Có thể hiểu đơn giản rằng công thức trên sử dụng ba tần số liên tiếp: tần số của nhóm chứa mốt và tần số của hai nhóm nằm ngay hai bên. Nhờ đó, kết quả không chỉ dựa vào việc nhóm nào có nhiều dữ liệu nhất mà còn ước lượng được mốt nằm ở vị trí nào trong nhóm đó.

Cách ghi công thức khi làm bài

Để tránh nhầm lẫn, khi làm bài nên xác định từng thành phần trước rồi mới thay vào công thức.

Chẳng hạn, nếu nhóm chứa mốt là:

[18;22)

và bảng cho:

n_m-1=78, n_m=120, n_m+1=45

thì ta có:

u_m=18

và:

u_m+1=22

Do đó:

u_m+1−u_m=22−18=4

Sau khi xác định đầy đủ các giá trị, chỉ cần thay vào công thức tính mốt.

Tiếp tục tính:

Như vậy, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị xấp xỉ là:

M_o ≈19,44

Điểm quan trọng ở đây là không lấy 20 làm mốt chỉ vì 20 là giá trị chính giữa của khoảng [18;22). Giá trị 20 chỉ là giá trị đại diện của nhóm. Mốt được xác định bằng công thức và trong ví dụ trên có giá trị xấp xỉ 19,44.

Cách tính mốt từng bước, tránh nhầm ký hiệu

Nếu chưa quen với các ký hiệu u_m,n_m,n_m-1,n_m+1, có thể thực hiện theo trình tự sau.

Bước 1: Xác định nhóm có tần số cao nhất

Quan sát cột tần số trong bảng và tìm giá trị lớn nhất.

Nhóm tương ứng với tần số lớn nhất chính là nhóm chứa mốt.

Ví dụ:

Tần số lớn nhất là 120.

Do đó, nhóm chứa mốt là: [18;22)

Bước 2: Xác định u_m và u_m+1

Từ nhóm chứa mốt [18;22), ta có:

u_m=18

u_m+1=22

Độ dài nhóm là:

u_m+1−u_m=22−18=4

Bước 3: Xác định ba tần số cần thiết

Nhóm trước nhóm chứa mốt là [14;18), có tần số 78.

Nhóm chứa mốt là [18;22), có tần số 120.

Nhóm sau nhóm chứa mốt là [22;26), có tần số 45.

Vì vậy:

n_m-1=78

n_m=120

n_m+1=45

Bước 4: Thay vào công thức

Lúc này, chỉ cần đưa các giá trị vừa xác định vào công thức tính mốt:

Ta được:

Sau khi tính toán:

M_o ≈19,44

Như vậy, mốt của mẫu số liệu trên xấp xỉ 19,44.

Ví dụ chi tiết về công thức tính mốt

Để dễ hình dung hơn, hãy xét một ví dụ khác.

Một trường học thống kê thời gian học sinh dành cho việc tự học mỗi ngày như sau:

Bài toán yêu cầu xác định mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

Xác định nhóm chứa mốt

Tần số lần lượt là 8, 18, 30, 24 và 10.

Giá trị tần số cao nhất là 30, nằm ở nhóm:

[2;3)

Do đó:

u_m=2

u_m+1=3

Ba tần số cần dùng là:

n_m-1=18

n_m=30

n_m+1=24

Độ dài nhóm chứa mốt:

u_m+1−u_m=3−2=1

Áp dụng công thức

Ta có:

Tính từng phần:

30−18=12

và:

30−24=6

Do đó:

Vậy:

M_o ≈2,67 giờ

Điều này cho thấy thời gian tự học có xu hướng tập trung nhiều nhất quanh mức 2,67 giờ mỗi ngày.

Vì sao không thể chỉ lấy trung điểm của nhóm chứa mốt?

Đây là phần khá quan trọng khi học công thức tính mốt.

Giả sử nhóm chứa mốt là [2;3). Trung điểm của nhóm này là:

Nhưng không có nghĩa mốt chắc chắn bằng 2,5.

Lý do là tần số của nhóm đứng trước và nhóm đứng sau có thể khác nhau. Trong ví dụ trên, nhóm chứa mốt có tần số 30, nhóm trước có 18 và nhóm sau có 24. Sự chênh lệch này cho thấy dữ liệu không phân bố đều quanh khoảng [2;3).

Vì vậy, công thức sẽ dựa vào mức chênh lệch giữa nm với hai tần số liền kề để xác định vị trí ước lượng của mốt trong nhóm.

Nếu hai nhóm bên cạnh có tần số khá gần với nhóm chứa mốt, kết quả có thể nằm gần một khu vực khác so với trung điểm. Đây cũng là lý do cần sử dụng đầy đủ công thức thay vì chọn một giá trị quen thuộc trong khoảng.

Một số trường hợp cần chú ý khi tính mốt

Khi nhóm chứa mốt nằm ở đầu bảng

Nếu nhóm chứa mốt là nhóm đầu tiên thì không có nhóm đứng trước. Khi đó, theo quy ước:

n_m-1=0

Ví dụ nhóm chứa mốt là:

[u₁;u₂)

thì không có nhóm liền trước nên lấy:

n_m-1=0

Sau đó vẫn áp dụng công thức tính mốt như bình thường.

Khi nhóm chứa mốt nằm ở cuối bảng

Nếu nhóm chứa mốt là nhóm cuối cùng thì không có nhóm đứng sau. Khi đó:

n_m+1=0

Việc đặt tần số của nhóm không tồn tại bằng 0 giúp công thức vẫn có thể sử dụng trong trường hợp này.

Tuy nhiên, khi làm bài, cần đọc kỹ đề và bảng dữ liệu để tránh nhầm nhóm liền trước hoặc liền sau.

Trường hợp có nhiều nhóm cùng đạt tần số cao nhất

Không phải mẫu số liệu ghép nhóm nào cũng chỉ có một nhóm chứa mốt. Nếu có nhiều nhóm cùng đạt tần số lớn nhất, mẫu có thể có nhiều nhóm chứa mốt.

Chẳng hạn:

Hai nhóm [5;10) và [10;15) cùng có tần số 20. Khi đó cần xem xét cách đề bài yêu cầu xử lý và không nên tự động chọn một nhóm bất kỳ.

Phân biệt mốt với số trung bình

Mốt và số trung bình đều được dùng để mô tả đặc điểm của một mẫu dữ liệu nhưng ý nghĩa của chúng không giống nhau.

Số trung bình cho biết mức giá trị trung bình của toàn bộ mẫu. Khi tính số trung bình của mẫu ghép nhóm, chúng ta sử dụng giá trị đại diện của từng nhóm và tần số tương ứng.

Trong khi đó, mốt tập trung vào khu vực dữ liệu xuất hiện phổ biến nhất. Với mẫu số liệu ghép nhóm, trước tiên cần tìm nhóm có tần số lớn nhất, sau đó dùng công thức để ước lượng vị trí của mốt.

Có thể hình dung đơn giản: số trung bình trả lời câu hỏi “dữ liệu nhìn chung nằm ở mức nào?”, còn mốt giúp trả lời “khu vực nào xuất hiện phổ biến nhất?”

Do đó, hai đại lượng này có thể cho ra những kết quả khá khác nhau.

Những lỗi thường gặp khi áp dụng công thức tính mốt

Nhầm nhóm chứa mốt với giá trị mốt

Đây là lỗi phổ biến nhất. Nhóm có tần số lớn nhất chỉ được gọi là nhóm chứa mốt, chứ chưa phải mốt.

Ví dụ, nếu nhóm chứa mốt là:

[18;22)

thì không thể kết luận ngay:

M_o=18

hoặc:

M_o=22

Cũng không nên mặc định:

M_o=20

vì 20 chỉ là giá trị chính giữa của nhóm.

Cần áp dụng đầy đủ công thức để tìm giá trị mốt xấp xỉ.

Lấy nhầm tần số của nhóm

Khi thay số vào công thức, cần phân biệt rõ:

n_m-1

là tần số của nhóm trước,

n_m

là tần số của nhóm chứa mốt,

và:

n_m+1

là tần số của nhóm sau.

Chỉ cần đổi vị trí một trong ba giá trị này là kết quả có thể sai hoàn toàn.

Quên tính độ dài nhóm

Phần:

u_m+1−u_m

cũng rất quan trọng. Nếu nhóm chứa mốt là [18;22), độ dài nhóm phải là:

22−18=4

Không nên nhầm với trung điểm:

Hai phép tính này có ý nghĩa hoàn toàn khác nhau.

Quên dấu ngoặc trong mẫu số

Khi viết:

cần giữ nguyên dấu ngoặc. Đây là phần giúp đảm bảo cả hai hiệu số đều nằm trong mẫu của phân thức.

Nếu bỏ ngoặc hoặc nhập sai thứ tự phép tính, kết quả có thể thay đổi.

Mẹo ghi nhớ công thức tính mốt nhanh hơn

Thay vì cố học thuộc cả công thức dài ngay từ đầu, có thể chia thành ba phần.

Phần đầu tiên là đầu trái của nhóm chứa mốt:

u_m

Phần thứ hai là một phân số thể hiện vị trí tương đối của mốt trong nhóm:

Cuối cùng là độ dài nhóm:

u_m+1−u_m

Sau đó ghép lại:

Có thể ghi nhớ theo cách đơn giản: đầu trái + phần điều chỉnh trong nhóm × độ dài nhóm.

Khi làm bài, không nên thay số ngay lập tức. Tốt nhất hãy viết riêng:

u_m=...

u_m+1=...

n_m-1=...

n_m=...

n_m+1=...

Sau khi xác định xong mới đưa vào công thức. Cách này giúp hạn chế đáng kể việc lấy nhầm dữ liệu.

Tạm kết

Công thức tính mốt không quá khó nếu nắm được cách xác định nhóm chứa mốt và thay đúng các giá trị vào công thức. Khi đã hiểu bản chất, bạn có thể dễ dàng xử lý các bài toán về mốt của mẫu số liệu ghép nhóm và hạn chế những lỗi sai khi tính toán.

Nếu đang cần một thiết bị để học tập, làm bài tập và tra cứu kiến thức thuận tiện hơn, bạn có thể tham khảo các mẫu laptop sinh viên văn phòng tại FPT Shop với nhiều lựa chọn về cấu hình và mức giá. Chọn được chiếc laptop phù hợp sẽ giúp quá trình học tập và làm việc trở nên chủ động, thuận tiện hơn.

Xem thêm:

• Cẩm nang công thức đạo hàm đầy đủ nhất giúp học sinh ghi nhớ dễ dàng khi giải toán
• 7 hằng đẳng thức đáng nhớ: Công thức, cách ghi nhớ và các ví dụ trực quan