7 hằng đẳng thức đáng nhớ: Công thức, cách ghi nhớ và các ví dụ trực quan

Khi học sinh học đến lớp 8 thuộc chương trình trung học cơ sở, sẽ bắt đầu được tiếp cận đến 7 hằng đẳng thức. Đây là một dạng kiến thức toán cơ bản mà giáo viên thường yêu cầu học sinh phải học thuộc lòng. Nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ không chỉ là phương tiện để học sinh giải các bài tập thuộc các chương trình lớp 8, mà còn kiến thức cần có để học sinh giải quyết đến các dạng toán và giải phương trình cao hơn ở lớp 9 và cả bậc trung học phổ thông sau này. Cùng tìm hiểu về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng bài tập cơ bản liên quan trong bài viết sau.

7 hằng đẳng thức đáng nhớ là gì?

Hằng đẳng thức là những phương trình toán học đặc biệt thể hiện sự cân bằng tuyệt đối giữa hai biểu thức. Hằng đẳng thức mang tính chất bất biến, nghĩa là bất kể có thay đổi các biến số trong hằng đẳng thức như thế nào, giá trị của hai biểu thức sẽ luôn luôn bằng nhau. Trong những hằng đẳng thức này sẽ được chia thành hai vế, ngăn cách bằng dấu bằng (=). Một vế là tổng hoặc hiệu, trong khi vế bên còn lại là tích hoặc lũy thừa. 

Trong đó, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là những đẳng thức cơ bản nhất của toán học sơ cấp mà mỗi người học Toán đều phải ghi nhớ. Trong chương trình giáo dục Việt Nam, học sinh thường được giáo viên yêu cầu phải học thuộc 7 hằng đẳng thức này, bởi chúng xuất hiện rất nhiều trong các bài tập toán ở cấp trung học cơ sở lẫn trung học phổ thông. Bảng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cũng thường được in trên mặt trong hoặc mặt sau của các vở tập viết dành cho học sinh.

Trên thế giới, tùy theo lộ trình giáo dục của từng nước mà 7 hằng đẳng thức đáng nhớ này sẽ có mặt trong các chương trình Toán dành cho lớp 7, 8 hoặc 9.

Tại sao cần ghi nhớ hằng đẳng thức?

Học thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ giúp học sinh giải nhanh những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. 

7 hằng đẳng thức đáng nhớ giúp đơn giản hóa các phép tính trong các bài toán phức tạp được kết hợp bởi nhiều biểu thức nhỏ khác nhau. Bằng việc khai triển biểu thức ban đầu sang đúng công thức của hằng đẳng thức đáng nhớ, học sinh sẽ có thể nhanh chóng rút gọn biểu thức ban đầu đến kết quả cuối cùng ngắn gọn hơn.

Ngoài ra, hằng đẳng thức cũng là cách thức nhanh gọn nhất để giải các phương trình và bất phương trình bậc hai và bậc ba. Bắt đầu từ những biểu thức ngắn gồm hai đến bốn thành tố ở Toán lớp 8 - 9, học sinh sẽ dần tiến đến các bài toán cồng kềnh hơn có thể lên đến sáu hay tám thành tố, và cuối cùng là các bài toán nâng cao liên quan đến Hằng đẳng thức Pascal hay Nhị thức Newton.

Danh sách 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Với hai biến số a, b bất kỳ, ta sẽ có: Bình phương một tổng bằng bình phương số thứ nhất, cộng với hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, cộng tiếp với bình phương số thứ hai.

Mẹo ghi nhớ nhanh: Vế triển khai lần lượt là cộng - cộng.

Bài toán ví dụ:

Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển hai biểu thức sau:

1. ( x + 2 )²
2. ( 2x + 1 )²

Bài giải:

1. ( x + 2 )² = x² + 2.x.2 + 2² = x² + 4x + 4
2. ( 2x + 1 )² = ( 2x )² + 2.2x.1 + 1² = 4x² + 4x + 1

2. Bình phương của một hiệu

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Với hai biến số a, b bất kỳ, ta sẽ có: Bình phương một hiệu bằng bình phương số thứ nhất, trừ cho hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, cộng với bình phương số thứ hai.

Mẹo ghi nhớ nhanh: Vế triển khai lần lượt là trừ - cộng.

Bài toán ví dụ:

Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển hai biểu thức sau:

1. ( x - 3 )²
2. ( 2x - 1 )²

Bài giải:

1. ( x - 3 )² = x² - 2.x.3 + 3² = x² - 6x + 9
2. ( 2x - 1 )² = ( 2x )² - 2.2x.1 + 1² = 4x² - 4x + 1

3. Hiệu hai bình phương

a² - b² = (a + b)(a - b)

Với hai biến số a, b bất kỳ, ta sẽ có: Hiệu của hai bình phương bằng tổng của hai số nhân với hiệu của hai số.

Bài toán ví dụ:

1. x² - 16
2. x² - 4y² 

Bài giải:

1. x² - 16 = x² - 42 = ( x - 4 )( x + 4 ) 
2. x² - 4y² = x² - ( 2y )² = ( x - 2y )( x + 2y )

4. Lập phương của một tổng

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Với hai biến số a, b bất kỳ, ta sẽ có: Lập phương của một tổng bằng lập phương của số thứ nhất, cộng với ba lần bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần số thứ nhất cộng với bình phương số thứ hai, cộng với lập phương số thứ hai.

Mẹo ghi nhớ nhanh: Vế triển khai lần lượt là cộng - cộng - cộng.

Bài toán ví dụ:

Dùng hằng đẳng thức để khai triển biểu thức sau: ( x + 2y )3

Bài giải:

( x + 2y )³ = x³ + 3.x².2y + 3.x.( 2y )² + ( 2y )³ = x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³

5. Lập phương của một hiệu

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Với hai biến số a, b bất kỳ, ta sẽ có: Lập phương của một hiệu bằng lập phương số thứ nhất, trừ cho ba lần bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, trừ cho lập phương số thứ ba.

Mẹo ghi nhớ nhanh: Vế triển khai lần lượt là trừ - cộng - trừ.

Bài toán ví dụ: Dùng hằng đẳng thức để khai triển biểu thức sau: ( x - 2y )³

Bài giải: 

( x - 2y )3 = x3 - 3.x2.2y + 3.x.( 2y )2 - ( 2y )3 = x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3

6. Tổng hai lập phương

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Với hai biến số a, b bất kỳ, ta sẽ có: Tổng của hai số lập phương bằng tổng của hai số, nhân với tổ hợp bình phương số thứ nhất trừ cho tích của hai số cộng với bình phương số thứ hai.

Mẹo ghi nhớ nhanh: Vế triển khai lần lượt là cộng nhân với trừ - cộng.

Bài toán ví dụ:

Dùng hằng đẳng thức triển khai biểu thức sau: x³ + 8

Bài giải:

 x³ + 8 = x³ + 2³ = ( x + 2 )(x² - x.2 + 2² ) = ( x + 2 )( x² - 2x + 4 ) 

7. Hiệu hai lập phương

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Với hai biến số a, b bất kỳ, ta sẽ có: Hiệu của hai số lập phương bằng hiệu của hai số, nhân với tổ hợp gồm bình phương số thứ nhất cộng với tích hai số cộng với bình phương số thứ hai.

Mẹo ghi nhớ nhanh: Vế triển khai lần lượt là trừ nhân với cộng - cộng.

Bài toán ví dụ: Dùng hằng đẳng thức triển khai biểu thức sau: x³ - 27 

Bài giải:

x³ - 27 = x3 - 3³ = ( x - 3 )(x² + x.3 + 3² ) = ( x - 3 )(x² + 3x + 9 )

Các hệ thức liên quan

Dưới đây là các hệ thức có liên quan đến 7 hằng đằng thức cơ bản, thường được sử dụng trong các dạng bài tập giải phương trình nâng cao.

(a + b + c) = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a)

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab -bc - ca)

(a - b - c)² = a² + b² + c² - 2ab + 2bc - 2ca

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc - 2ca

(a + b - c)² = a² + b² + c² - 2ab - 2bc - 2ca

Tạm kết

Bằng cách học thuộc cũng như nắm rõ cách vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, học sinh sẽ có trong tay bí quyết để giải được nhiều dạng bài tập toán khác nhau, nhất là các dạng bài tập giải phương trình thường chiếm nhiều điểm trong các bài thi và bài kiểm tra. 

Từ lớp 8 trở đi, học sinh sẽ bắt đầu cần đến máy tính cầm tay như một dụng cụ học tập cần thiết, không chỉ trong môn Toán mà còn dùng nhiều trong các môn tự nhiên khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học. Các sinh viên cũng sẽ cần máy tính cầm tay cho các môn Toán cao cấp. Nếu bạn đang có nhu cầu, hãy ghé FPT Shop để mua máy tính cầm tay chính hãng với giá ưu đãi nhé.

Máy tính cầm tay

Xem thêm:

Toán Math – Trang web hỗ trợ học toán trực tuyến thông minh

Học toán cùng 6 phần mềm giải toán online tốt nhất hiện nay